Dosad je o. Alzaga bio ravnatelj Telekomunikacija Države Grada Vatikana. Za svećenika je zaređen 1969. godine; postigao je magisterij iz filozofije i teologije na Papinskom sveučilištu Gregoriana a diplomu iz arhivistike pri Tajnom vatikanskom arhivu.

U službu Svete Stolice stupio je 1972. godine radeći pri Zboru za ustanove i društva posvećenoga života, a od 1984. godine u Papinskom vijeću za laike; deset godina poslije postaje ravnateljem Internetskog ureda Svete Stolice, a od 2008. godine obnašao je dužnost ravnatelja Telekomunikacija Vatikanske države, izvijestio je Radio Vatikan.